A fajt feltehetőleg Thomas Watling Ausztráliába deportált fegyenc fedezte fel 1792-ben. Hivatalosan George Shaw írta le 1805-ben és 1831-ben került az első kitömött példány Európába.
A faj első élő képviselőit John Gould természettudós 1840-ben hozta Európába, melyek a még ugyanabban az évben megrendezett madárkiállításon Antwerpenben nagy sikert arattak. A madarak iránt nagyon nagy lett a kereslet Európában, Ausztráliából hajórakományszámra érkeztek a madarak. Mivel félő volt, hogy tömeges befogásuk miatt nagyon megritkulnak hazájukban, Ausztrália 1884-ben megtiltotta a madarak kivitelét az országból. Ennek köszönhetően a faj még ma is igen gyakori madár Ausztráliában.
Ebből az is következik, hogy azóta az összes madár fogságban jött a világra, így ez lett az első fogságban tenyésztett papagájfaj. A madár a természetes élőhelyén levő kedvezőtlen körülményekhez jól alkalmazkodott, ennek köszönhetően jól bírja a fogságot. Mivel tápláléka őshazájában is javarészt néhány fűféle magjára korlátozódik, így nem szenved az egyhangú étrendtől fogságban sem.
A tenyésztés során, mint a többi ember által nevelt fajnál is, kezdtek megjelenni az eredetitől elütő színű egyedek. Ezek feltehetően olykor megjelennek vadon élő madarak között is, de mivel ezeket a példányokat könnyebb észrevenni, így a ragadozók igen hamar kiszelektálják ezeket a rendellenes színezetú egyedeket a populációból. Az embernek viszont megtetszettek a más színű példányok és azokat kiválogatva megindult az egyéb színekre való szelektálás. 1872-ben jelentek meg először sárga színű madarak, 1900-ben bukkantak fel először a kékek és 1920-ra sikerült fehér színű példányokat kitenyészteni. Mára ezen három szín és az eredteti zöld kombinációjából több mint 100 féle, egymástól olykor csak igen kis mértékben különböző színkombinációt sikerült kitenyészteni.
Az elmúlt kétszáz év során a hullámos papagáj tenyésztése a vad alaktól teljesen függetlenül ment végbe, így a ma világszerte tartott több millió hullámospapagáj gyakorlatilag háziasított állatnak számít. Így a kanárimadár után a hullámos papagáj lett a második kizárólag a díszértéke miatt háziasított madárfaj.
18 centiméteres hosszával a legkisebb faj a laposfarkú papagájok közül. A vadon élő alak zöld színű. Fejének elülső része sárga, pofájának alsó részén egy nagy kerek folt található, torkán pedig egy sor ovális fekete folt van. Háti felületén a fekete alapszínű tollak sárgán szegélyezettek, ami jellegzetes hullámos rajzolatot ad a madárnak, amiről a nevét is kapta. Farka 9-10 centiméter hosszú, zöldeskék, a külső tollak szegélye sárga. Csőrén levő jellegzetes viaszhártyájának színe a madár nemére utal. Ivarérett korban a hímek viaszhártyája kék színű, a tojóké barnás.
A háziasított madarak között elvétve akadnak vadszínűek is, de inkább a különböző színváltozatait kedvelik. Különösen gyakoriak a kékek, a sárgák és a fehérek, de ezek kombinációjából álló foltos egyedek is akadnak.